數學討論（一）

　　此問題爲初等解析之例題自不能用 Cantor定理*

此處$a_n=1,b_n=0,a_n>0$

$\therefore a_n\cos nx\to 0.$

而項之趨向$0$爲收歛必須條件無待贅言故吾人祗須證明 $\cos nx\to 0$對於一切 $x$ 下述解决方法乃 Diophantische Approximationen 應用之一例:

　　(a)令 $x=y\pi$　　$\pi$爲圓周率

設$y$爲有理數時卽

　　$y=\frac{h}{g}$, 　　$h,g$ 爲整數

　　$m=ng,\cos mx=\pm 1\ne 0,$

如是之$m$不知其幾千萬也故此時甚易.

　　(b)茲假定$y$爲無理數時則不若前此之簡單欲達證明$\cos mx\to 0$之目的祗須證明對於任何旣定之$ϵ>0$,任何大之$m_0$任何所與之$x$必有一個$m$存在$m\geqq m_0$使

　　$|\cos mx-1|<ϵ$　或　$|\cos mx+1|<ϵ$

$\cos x$ 爲$x$ 之連續函數其週期爲$2\pi$由此性質而推知祗須證明對於如上旣定之$ϵ,m_0,x$可得兩種整數$m\geqq m_0,n$使

　　$|mx-n\pi |<\delta =\delta (ϵ)$

蓋$\cos n\pi =\pm 1$故. 本問題因是歸解下列不定不等方程式

　（甲）　　 $|my-n|<\frac{\delta }{\pi }={\delta }_1$　　而$m\ge m_0$

解决手段卽所謂抽箱結論法是.何謂抽箱結論法卽置$n+1$個物件於$n$個抽箱內則其中最少有一個抽箱含有二個或二個以上者.語曰百性日用而逮Dirichlet其功用大著於數論中.

　　言歸於正:吾人從實數性質中而知對於任何小之$\delta >0$必有一個整數$g$存在使$g\delta >1$（Archimedische Axiom）如$A>0$令$[A]$爲在$A$前最大之整數則令$g=\left[\frac{1}{\delta }\right]+1$可也.因$\left[\frac{1}{\delta }\right]+1>\frac{1}{\delta }$, 故方程式（甲）可書之爲

　　$|my-n|<\frac{1}{g}<{\delta }_1$　　其中$m,n$爲未知數.

爲簡便起見先置$m\ge m_0$之條件於不論.

　　將單位線段$0$——$1$分爲$g$等分作兩組$g+1$個數

　　${\alpha }_{\nu }=\nu y,\nu =0,1,\cdots ,g;{\beta }_{\nu }=1+[\nu y],\nu =0,1,\cdots ,g.$

$[]$之意義如上.

令${\gamma }_{\nu }={\beta }_{\nu }-{\alpha }_{\nu }$ 則 $0<{\gamma }_{\nu }\le 1.\nu =0,1,\cdots ,g$.

因${\beta }_{\nu }$剛爲${\alpha }_{\nu }$後之第一整數故由抽箱結論法則知必有二個不同之${\gamma }_{\lambda },{\gamma }_{\mu },\lambda >\mu$在一個小線段中.故$|{\gamma }_{\lambda }-{\gamma }_{\mu }|<\frac{1}{g}$, 卽$|[\lambda y]-[\mu y]-y(\lambda -\mu )|<\frac{1}{g}$. 無論如何$[\lambda y]-[\mu y]$及$\lambda -\mu$兩整數而$\lambda -\mu \ne 0$. 令其各爲$\xi ,\eta$而得 $|\xi y-\eta |<\frac{1}{g}$. 茲選$g$如彼其大使$\frac{1}{g}<\frac{\delta }{\pi m_0}$得

　　$|m_0\xi y-m_0\eta |<\frac{\delta }{\pi },\xi \ne 0,\therefore \xi \geqq 1.$

令$m_0\xi =m,m_0\eta =n$卽所求之目的也.

　　上述之方法可施之於下例問題卽

設有$N$個實數$a_1,a_2,\cdots ,a_N$爲旣定. $q$爲整數$\tau$爲實數皆旣定.常可求一個$t$於$\tau \leqq t\leqq q^n$及$N$個整數$x_1,\cdots ,x_N$使

　　$|t{a}_n-x_n|\leqq \frac{1}{q}(n=1,2,\cdots ,N)$

證明方法不難照上推演之. （待續）

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* Cantor 定理曰: $a_n\cos nx+b_n\sin nx\to 0$

祗須而必須 $a_n\to 0,b_n\to 0$. Template:Pd/1996